地球表面での重力加速度と遠心力による加速度の合成加速度の計算
余弦定理より、
(g’)^2=g^2+a^2-2ga*cosθ
遠心力による加速度 a は、
a=Rω^2*cosθ
∴ g’=√(g^2+a^2-2ga*cosθ)
=√{(g^2+R^2*ω^4*(cosθ)^2-2gRω^2*(cosθ)^2}
=√{(g^2+R*ω^2*(cosθ)^2(Rω^2-2g)}
=√{(g^2 - R*ω^2*(cosθ)^2(2g-Rω^2)} …(1)
万有引力の法則より、
mg=GmM/R^2
∴ g=GM/R^2 …(2)
式(1)により
地球表面での重力加速度と遠心力による加速度の合成加速度g’ を数値計算すると、
θ = 0 （赤道直下で） g’ = √{(g^2 - R*ω^2*(cos0)^2(2g-Rω^2)}
= √{(g^2 - R*ω^2*(1)^2(2g-Rω^2)}
= √{(g^2 - R*ω^2*(2g-Rω^2)}
= √{(g^2 - 2gR*ω^2*+R^2ω^4)}
= √(g - R*ω^2)^2
= g - R*ω^2 .... g’の最小値
θ = 90° （北極/南極直下で） g’ = √{(g^2 - R*ω^2*(cos90°)^2(2g-Rω^2)}
= √{(g^2 - R*ω^2*(0)^2(2g-Rω^2)}
= √g^2
= g .... g’の最大値
よって、
g - R*ω^2 ≦ g’ ≦ g
地球の自転の角速度は、ω = 2π/(24*3600) [rad/s]
緯度 θ | 遠心力の加速度[m/s^2] a = R*ω^2*cosθ
0° | 0.03367
10° | 0.03316
20° | 0.03146
30° | 0.02916
35° | 0.02758
40° | 0.02579
45° | 0.02381
90° | 0.00000
結局、赤道直下でもわずか 3.4 [cm/s^2] の加速度が、重力加速度から減るだけで、
重力加速度 g=980[cm/s^2] に対し、最大でも 3.4/980X100=0.35% の影響しかでない。
現在まで「赤道に近い緯度の地方ほうがロケット射場に有利。」ということが、繰り返し言われてきたが、さほどでもなく、遠心力の影響はいささか微小な計算結果を得た。
万有引力による地球の重力加速度gに対し、地球上に置かれた物に働く遠心力による、地球に引かれる力の合力とその加速度の差は、最大でもわずか0.35%の影響にとどまる結果を得た。
